domingo 13 octubre 2024

Cómo calcular la matriz inversa de 3x3

Calcular la matriz inversa de una matriz de 3x3 es un proceso fundamental en álgebra lineal, con aplicaciones en diversas áreas como física, economía, informática y más. En este artículo, explicaremos paso a paso cómo encontrar la inversa de una matriz de 3x3 utilizando el método de cofactores y la fórmula de la inversa.

¿Qué es la matriz inversa?

La matriz inversa de una matriz $ A $ es otra matriz $ A^{-1} $ tal que al multiplicar ambas matrices obtenemos la matriz identidad $ I $:

$$A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$$

Para que una matriz tenga una inversa, debe cumplir la condición de ser cuadrada (mismo número de filas y columnas) y su determinante no debe ser cero. Si el determinante es cero, la matriz es singular y no tiene inversa.

Requisitos previos para el cálculo

1. Matriz cuadrada: Solo se puede calcular la inversa de una matriz cuadrada (en este caso, de 3x3).

2. Determinante diferente de cero: Si el determinante de la matriz es cero, no se puede calcular la inversa, ya que la matriz es singular.

Pasos para calcular la matriz inversa de 3x3

A continuación, describimos los pasos para calcular la inversa de una matriz $ A $ de 3x3. Supongamos que tenemos la siguiente matriz:

$$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$$

1. Calcular el determinante de la matriz

El primer paso es calcular el determinante de la matriz $ A $, que es fundamental para verificar si la matriz es invertible.

El determinante de una matriz de 3x3 se calcula utilizando la fórmula:

$$\text{det}(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$$

Donde:

$ a, b, c $ son los elementos de la primera fila,
$ d, e, f $ son los elementos de la segunda fila,
$ g, h, i $ son los elementos de la tercera fila.

Si el determinante es igual a cero, la matriz no tiene inversa.

2. Encontrar la matriz de cofactores

El siguiente paso es calcular la matriz de cofactores. Para cada elemento de la matriz, eliminamos la fila y columna en la que se encuentra dicho elemento, y calculamos el determinante de la submatriz resultante.

Fórmulas para los cofactores

$ C_{11} = (ei - fh) $
$ C_{12} = -(di - fg) $
$ C_{13} = (dh - eg) $
$ C_{21} = -(bi - ch) $
$ C_{22} = (ai - cg) $
$ C_{23} = -(ah - bg) $
$ C_{31} = (bf - ce) $
$ C_{32} = -(af - cd) $
$ C_{33} = (ae - bd) $

Con estos cofactores, podemos construir la matriz de cofactores:

$$\text{Cof}(A) = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{pmatrix}$$

3. Transponer la matriz de cofactores

A continuación, transponemos la matriz de cofactores. Esto significa intercambiar las filas y columnas. La matriz traspuesta es:

$$\text{Cof}(A)^T = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{pmatrix}$$

4. Multiplicar por el inverso del determinante

Finalmente, la inversa de la matriz $ A $ se obtiene multiplicando la matriz adjunta (que es la matriz de cofactores transpuesta) por el inverso del determinante de $ A $:

$$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{Cof}(A)^T$$

Es decir, cada elemento de la matriz adjunta se multiplica por $ \frac{1}{\text{det}(A)} $.

Ejemplo práctico

Para ilustrar los pasos anteriores, consideremos el siguiente ejemplo. Supongamos que tenemos la matriz $ A $:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 3 \\ 1 & -2 & 4 \\ 3 & 6 & -1 \end{pmatrix}$$

Paso 1: Determinante de la matriz

Primero, calculamos el determinante de $ A $:

$$\text{det}(A) = 2((-2)(-1) - 4(6)) - 5((1)(-1) - 4(3)) + 3((1)(6) - (-2)(3))$$

$$\text{det}(A) = 2(2 - 24) - 5(-1 - 12) + 3(6 + 6)$$

$$\text{det}(A) = 2(-22) - 5(-13) + 3(12)$$

$$\text{det}(A) = -44 + 65 + 36 = 57$$

El determinante es 57, por lo que la matriz es invertible.

Paso 2: Matriz de cofactores

Ahora, calculamos los cofactores:

$$C_{11} = (-2)(-1) - 4(6) = 2 - 24 = -22$$

$$C_{12} = -((1)(-1) - 4(3)) = -( -1 - 12) = 13$$

$$C_{13} = (1)(6) - (-2)(3) = 6 + 6 = 12$$

$$C_{21} = -((5)(-1) - 3(6)) = -(-5 - 18) = 23$$

$$C_{22} = (2)(-1) - 3(3) = -2 - 9 = -11$$

$$C_{23} = -((2)(6) - 5(3)) = -(12 - 15) = 3$$

$$C_{31} = (5)(4) - 3(-2) = 20 + 6 = 26$$

$$C_{32} = -((2)(4) - 3(1)) = -(8 - 3) = -5$$

$$C_{33} = (2)(-2) - 5(1) = -4 - 5 = -9$$

Entonces, la matriz de cofactores es:

$$\text{Cof}(A) = \begin{pmatrix} -22 & 13 & 12 \\ 23 & -11 & 3 \\ 26 & -5 & -9 \end{pmatrix}$$

Paso 3: Matriz adjunta (transpuesta de la matriz de cofactores)

La matriz adjunta es la transpuesta de la matriz de cofactores:

$$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -22 & 23 & 26 \\ 13 & -11 & -5 \\ 12 & 3 & -9 \end{pmatrix}$$

Paso 4: Inversa de la matriz

Finalmente, multiplicamos la matriz adjunta por $ \frac{1}{\text{det}(A)} = \frac{1}{57} $:

$$A^{-1} = \frac{1}{57} \cdot \begin{pmatrix} -22 & 23 & 26 \\ 13 & -11 & -5 \\ 12 & 3 & -9 \end{pmatrix}$$

Lo que nos da la matriz inversa:

$$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{-22}{57} & \frac{23}{57} & \frac{26}{57} \\ \frac{13}{57} & \frac{-11}{57} & \frac{-5}{57} \\ \frac{12}{57} & \frac{3}{57} & \frac{-9}{57} \end{pmatrix}$$

Conclusión

Calcular la matriz inversa de 3x3 implica varios pasos importantes: encontrar el determinante, la matriz de cofactores, su transpuesta y, finalmente, multiplicar por el inverso del determinante. Si sigues los pasos descritos anteriormente, podrás calcular la inversa de cualquier matriz de 3x3 siempre que su determinante no sea cero.

Etiquetas:

matematicas

Creado por:

Jorge García

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