¿Qué es el producto de Hadamard?

El producto de Hadamard, también conocido como producto elemento a elemento, es una operación matemática entre dos matrices de igual dimensión. Consiste en multiplicar cada elemento de una matriz por el elemento correspondiente de la otra matriz, generando una nueva matriz del mismo tamaño.

Definición formal

Dadas dos matrices \( A \) y \( B \) de dimensiones \( m \times n \), su producto de Hadamard \( C = A \circ B \) se define como:

donde \( C_{ij} \) representa el elemento de la fila \( i \) y columna \( j \) de la matriz resultante.

Propiedades del producto de Hadamard

1. Dimensiones iguales: Ambas matrices deben tener el mismo tamaño.

2. Conmutatividad: \( A \circ B = B \circ A \).

3. Asociatividad: \( A \circ (B \circ C) = (A \circ B) \circ C \).

4. Distributividad respecto a la suma: \( A \circ (B + C) = A \circ B + A \circ C \).

Aplicaciones del producto de Hadamard

1. Redes neuronales: Se utiliza para implementar operaciones como la atención y la retropropagación.

2. Procesamiento de imágenes: Combinación de filtros y máscaras en matrices de píxeles.

3. Análisis de datos: Aplicación en álgebra lineal y métodos numéricos para optimizar cálculos.

Ejemplo práctico

Dado:

El producto de Hadamard \( C = A \circ B \) es: