¿Qué es la probabilidad marginal?

La probabilidad marginal es un concepto fundamental en la teoría de la probabilidad y las estadísticas. Se refiere a la probabilidad de que ocurra un solo evento, sin tener en cuenta los resultados de otros eventos relacionados. En otras palabras, es la probabilidad de un evento aislado dentro de un conjunto de eventos más grandes.

A continuación, profundizaremos en qué consiste, cómo se calcula y su importancia en el análisis de datos.

Entendiendo la probabilidad marginal

Para entender mejor la probabilidad marginal, primero es necesario tener claro qué es un espacio de probabilidad. Un espacio de probabilidad se compone de un conjunto de eventos posibles, de los cuales algunos pueden estar relacionados entre sí. La probabilidad marginal se centra en la probabilidad de uno de esos eventos, ignorando cualquier información adicional sobre otros eventos en el espacio de probabilidad.

Ejemplo básico de probabilidad marginal

Imagina que lanzas dos dados y quieres calcular la probabilidad de obtener un número impar en el primer dado. La probabilidad marginal en este caso sería simplemente la probabilidad de obtener un número impar en ese dado, sin preocuparse por lo que ocurra en el segundo dado.

En este caso, hay tres resultados posibles en el primer dado que son impares: 1, 3 y 5. Como hay seis resultados posibles en total (1, 2, 3, 4, 5, 6), la probabilidad marginal de obtener un número impar es:

Esta probabilidad marginal ignora completamente lo que ocurra con el segundo dado, es decir, es independiente de cualquier otro evento.

Diferencia entre probabilidad marginal y condicional

Es importante no confundir la probabilidad marginal con la probabilidad condicional. La probabilidad condicional se refiere a la probabilidad de que ocurra un evento dado que otro evento ya ha ocurrido. En contraste, la probabilidad marginal no toma en cuenta ninguna otra información o condición.

Ejemplo de probabilidad condicional

Siguiendo con el ejemplo de los dados, si te preguntan cuál es la probabilidad de que el primer dado sea impar dado que el segundo dado es un número par, estarías calculando una probabilidad condicional, no una marginal. La probabilidad marginal, en cambio, se mantiene independiente de lo que suceda con el segundo dado.

Cálculo de la probabilidad marginal

Cuando se tiene una distribución conjunta de dos o más variables aleatorias, la probabilidad marginal de una de esas variables se calcula sumando (o integrando, si es un caso continuo) todas las probabilidades conjuntas que involucran esa variable. Este proceso se conoce como "marginalización".

Distribución conjunta de probabilidad

En el caso de variables aleatorias discretas, la distribución conjunta de probabilidad describe la probabilidad de que ocurran ciertos valores de dos o más variables. A partir de esta distribución conjunta, se puede obtener la probabilidad marginal de cada variable individual.

Ejemplo de tabla de probabilidad conjunta

Imaginemos que tenemos dos variables aleatorias discretas, \( X \) y \( Y \), y la siguiente tabla de distribución conjunta:

Para calcular la probabilidad marginal de \( X \), sumaríamos las probabilidades asociadas a cada valor de \( X \) a lo largo de todas las posibles ocurrencias de \( Y \):

En este ejemplo, la probabilidad marginal de \( X = 1 \) es 0.4 y la de \( X = 2 \) es 0.6.

Importancia de la probabilidad marginal

La probabilidad marginal es crucial en muchos campos de estudio, incluyendo:

Relación entre la probabilidad marginal y otras medidas

Probabilidad conjunta

La probabilidad conjunta mide la probabilidad de que ocurran dos o más eventos simultáneamente. Por ejemplo, si \( P(A \cap B) \) es la probabilidad conjunta de que ocurran los eventos \( A \) y \( B \), la probabilidad marginal de \( A \) sería la suma de todas las probabilidades conjuntas que involucran \( A \).

Este concepto es clave en la marginalización, que es el proceso de obtener probabilidades marginales a partir de probabilidades conjuntas.

Distribuciones marginales y condicionales

En una distribución conjunta, se pueden derivar tanto las distribuciones marginales como las distribuciones condicionales. Mientras que la marginalización implica sumar sobre una variable para encontrar la probabilidad de otra, la distribución condicional se calcula dividiendo la probabilidad conjunta entre la probabilidad marginal del evento condicionante:

Esta relación entre las distribuciones marginales y condicionales es central en la teoría de la probabilidad y su aplicación a problemas complejos.

Conclusión

La probabilidad marginal es un concepto esencial para comprender el comportamiento de un evento sin tener en cuenta otros eventos que podrían estar relacionados. A través de la marginalización, podemos simplificar situaciones complejas y enfocarnos en una variable específica dentro de un espacio de probabilidad más grande. Este concepto se encuentra en la base de muchas aplicaciones prácticas en diversas disciplinas, desde el análisis de datos hasta la toma de decisiones basadas en probabilidades.